电场高斯定理证明（电荷分布与电场分布）

最佳答案电荷分布与电场分布 电场高斯定理，也称作高斯通量定理，是物理学中的一个重要定理，关于电场的分布，它能够把初中时学的库仑定律更深入地联系起来。这个定理是高斯于1813年发现的...

电荷分布与电场分布

电场高斯定理，也称作高斯通量定理，是物理学中的一个重要定理，关于电场的分布，它能够把初中时学的库仑定律更深入地联系起来。这个定理是高斯于1813年发现的，而今天，我们就来探讨一下它的证明。

高斯定理总结为一句话，即：通过任意封闭表面的电通量，等于该表面所包围电荷代数和的1/ε-o倍。其中，ε-o为真空介质的电容率，而代数和指所算得的正电荷和负电荷的代数和。考虑到电荷对电场有影响，因此理解了该公式的含义，是深入学习电场分布的开端。

我们先来回忆一下高斯通量的定义。高斯通量，指的是电场向外或向内穿过一个封闭曲面的流量，即穿过该曲面的电场向量在该曲面上的垂直分量乘以该曲面的面积，再以正负号区分电场向外或向内。这里要注意的是，穿过曲面的电场向量要是在曲面上垂直的。

随后，考虑任意面积内电场的变化和电荷的关系。我们将一个点电荷置于空间中，如图1所示，然后考虑在半径为r、面积为$S_1$的球外加入一个半径Δr的球壳$S_2$，我们尝试通过高斯定理来计算这个球壳的场强。

在球外一点$P$处，球内转描出一个面元$dS$，则该面元的电通量为：$dΦ_E=E\\cdot dS$，而这 $dS$ 所对应的立体角为$\\frac{dΩ}{4\\pi}$。由于表面在球内的所有情况均有对称性，则在电荷球内，所有立体角的总和为$Ω=4\\pi$。因此，穿过壳面$S_2$ 的总电通量为：$Φ_E=\\int_S E\\cdot dS=E\imes \\int_S dS=E\imes S_2$，其中S2表示球壳的面积，矢量E在任何时间、位置的大小皆不变，E为点电荷置入所处的电场。对球内情况的讨论方法也是类似的。

接下来，遵循哥萨克性质，不妨假设电场是一个连续函数，则得： 此时，在Δr→0时，上式右边的分子就趋于一个常量，因而又得： 这正是利用高斯定理推出的，与第一句话说的公式是等价的。因此，我们封闭的曲面不必是球形，若为其它形状，可平面化为一个微小的平面和曲面处的小球形（或圆柱形）部分，仍然成立。而全部的取法，恰好构成了对这个的冗余验证。