卓里奇数学分析答案第一章（“卓里奇的分析力与实例”）

最佳答案“卓里奇的分析力与实例” 在学习数学分析的过程中，我们难免会遇到一些困难和问题，而卓里奇的《实数与函数》一书无疑是我们的好教材。在第一章中，我们将学习实数的基本概念和...

“卓里奇的分析力与实例”

在学习数学分析的过程中，我们难免会遇到一些困难和问题，而卓里奇的《实数与函数》一书无疑是我们的好教材。在第一章中，我们将学习实数的基本概念和性质，下面我们来看一下该章节的练习题的解答。

1.1 实数的基本性质

（1）假设$a\\leq x_{n}\\leq b$（$a$，$b$为实数），证明：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}x_{n}=a\\Leftrightarrow \\lim_{n\\rightarrow\\infty}x_{n}=b\\Leftrightarrow \\lim_{n\\rightarrow\\infty}x_{n}=\\alpha \\quad(a\\leq\\alpha \\leq b)$。 解：要证明 $\\lim_{n\\rightarrow\\infty}x_{n}=a$，只需对于$\\forall \\varepsilon >0$，$\\exists N\\in N$，当$n \\geq N$时，有$|x_{n}-a|<\\varepsilon$。 因为$a\\leq x_{n}\\leq b$，$\herefore |x_{n}-a| \\leq |b-a|$，因此有$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}x_{n}=a$成立。 同样道理，可以证明$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}x_{n}=b$和$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}x_{n}=\\alpha$。

1.2 实数的稠密性

（2）证明：若实数序列$\\{x_{n}\\}$满足$a_{n}解：对于$\\forall \\varepsilon >0$，由$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}(b_{n}-a_{n})=0$，$\\exists N>0$，当$n \\geq N$时，有$|b_{n}-a_{n}|<\\varepsilon$。 利用两端夹规则，可得：$a_{N} - \\varepsilon < x_{N} < b_{N} + \\varepsilon$。 由$a_{n+1}\\leq a_{n}

1.3 单调有界原理

（2）若实数序列$\\{x_{n}\\}$满足$0解：由于$\\{a_{n}\\}$是单调上界序列，则$\\{a_{n}\\}$单调不降且有上界，即该序列收敛。 设其极限为$\\alpha$，则$\\{x_{n}\\}$显然有下界，故$\\sup\\{x_{n}\\}$存在。 对于$\\forall \\varepsilon >0$，由于$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}a_{n}=\\alpha$，故$\\exists N>0$，当$n \\geq N$时，有$|a_{n}-\\alpha|<\\varepsilon$。 由于$\\{a_{n}\\}$为$\\{x_{n}\\}$的上界，则有$x_{n}\\leq a_{n}$，则有$\\alpha-\\varepsilon

练习题的解答并不是简单的机械运算，需要认真思考和理解。在解答时，我们不仅需要掌握基本概念和定理，还需要灵活运用它们，对于一些复杂的问题，需要耐心思考，寻找解题的突破口，最终获得正确的解答。